جواب فعالیت صفحه8 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۸ حسابان یازدهم سلام به دانش‌آموزان کوشا! این فعالیت بسیار مهم است و هدف آن کشف رابطه بین **ریشه‌های** یک معادله درجه دوم و **ضرایب** آن است. بیایید با هم جدول را کامل کنیم و رابطه پنهان را پیدا کنیم. ### ۱. تکمیل جدول ما باید ریشه‌های گمشده، جمع و ضرب ریشه‌ها ($S$ و $P$) و مقادیر $-\frac{b}{a}$ و $\frac{c}{a}$ را برای هر معادله محاسبه کنیم. | معادله ($ax^۲ + bx + c = ۰$) | مقدار هر ریشه ($x_۲$ و $x_۱$) | جمع ریشه‌ها ($S$) | ضرب ریشه‌ها ($P$) | $a$ | $b$ | $c$ | $-\frac{b}{a}$ | $\frac{c}{a}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $۲x^۲ - ۵x + ۲ = ۰$ | $x_۱ = ۲, x_۲ = \frac{۱}{۲}$ | $\mathbf{\frac{۵}{۲}}$ | $\mathbf{۱}$ | $۲$ | $-۵$ | $۲$ | $\frac{-(-۵)}{۲} = \mathbf{\frac{۵}{۲}}$ | $\frac{۲}{۲} = \mathbf{۱}$ | | $۴x^۲ - ۳x - ۷ = ۰$ | $x_۱ = -۱, x_۲ = \frac{۷}{۴}$ | $\frac{۳}{۴}$ | $-\frac{۷}{۴}$ | $۴$ | $-۳$ | $-۷$ | $\frac{-(-۳)}{۴} = \mathbf{\frac{۳}{۴}}$ | $\frac{-۷}{۴} = \mathbf{-\frac{۷}{۴}}$ | | $x^۲ - ۲x + ۱ = ۰$ | $x_۱ = ۱, x_۲ = \mathbf{۱}$ | $\mathbf{۲}$ | $\mathbf{۱}$ | $۱$ | $-۲$ | $۱$ | $\frac{-(-۲)}{۱} = \mathbf{۲}$ | $\frac{۱}{۱} = \mathbf{۱}$ | | $۵x^۲ + ۶x - ۸ = ۰$ | $x_۱ = \frac{۴}{۵}, x_۲ = \mathbf{-۲}$ | $\mathbf{-\frac{۶}{۵}}$ | $\mathbf{-\frac{۸}{۵}}$ | $۵$ | $۶$ | $-۸$ | $\frac{-(۶)}{۵} = \mathbf{-\frac{۶}{۵}}$ | $\frac{-۸}{۵} = \mathbf{-\frac{۸}{۵}}$ | ### ۲. محاسبات ریشه‌های گمشده: * **برای سطر اول ($۲x^۲ - ۵x + ۲ = ۰$):** * ریشه‌ها از روش تجزیه: $(۲x-۱)(x-۲)=۰$، پس $x_۱ = ۲$ و $x_۲ = \frac{۱}{۲}$. * جمع ریشه‌ها: $S = ۲ + \frac{۱}{۲} = \frac{۵}{۲}$. * ضرب ریشه‌ها: $P = ۲ \times \frac{۱}{۲} = ۱$. * **برای سطر سوم ($x^۲ - ۲x + ۱ = ۰$):** * ریشه‌ها: این معادله یک مربع کامل است: $(x-۱)^۲ = ۰$. پس دارای یک ریشه مضاعف است: $x_۱ = x_۲ = ۱$. * جمع ریشه‌ها: $S = ۱ + ۱ = ۲$. * ضرب ریشه‌ها: $P = ۱ \times ۱ = ۱$. * **برای سطر چهارم ($۵x^۲ + ۶x - ۸ = ۰$):** * یکی از ریشه‌ها $x_۱ = \frac{۴}{۵}$ داده شده. برای پیدا کردن ریشه دیگر ($x_۲$) از رابطه ضرب ریشه‌ها استفاده می‌کنیم: $$P = x_۱ x_۲ = \frac{c}{a} = \frac{-۸}{۵}$$ $$\frac{۴}{۵} x_۲ = -\frac{۸}{۵}$$ $$۴ x_۲ = -۸ \implies x_۲ = -۲$$ * جمع ریشه‌ها: $S = \frac{۴}{۵} + (-۲) = \frac{۴}{۵} - \frac{۱۰}{۵} = -\frac{۶}{۵}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۸ حسابان یازدهم آفرین بر شما! پس از تکمیل جدول در فعالیت قبلی، اکنون زمان آن رسیده که **رابطه طلایی** بین ریشه‌ها و ضرایب را کشف کنیم. این روابط، ابزارهای بسیار قدرتمندی در حل معادلات درجه دوم هستند. *** ### الف) ارتباط بین جمع ریشه‌ها ($S$) و ضرایب اگر به ستون **جمع ریشه‌ها ($S$)** و ستون **$-\frac{b}{a}$** در جدول نگاه کنید، متوجه یک برابری شگفت‌انگیز می‌شوید: * **مشاهده:** در هر چهار سطر، مقدار **جمع ریشه‌ها ($S$)** دقیقاً برابر با مقدار کسر **$-\frac{b}{a}$** است. * **نتیجه‌گیری:** جمع ریشه‌های یک معادله درجه دوم ($ax^۲ + bx + c = ۰$) همواره برابر است با **قرینه ضریب $x$ تقسیم بر ضریب $x^۲$**. $$\mathbf{\text{جمع ریشه‌ها} \quad (S) = x_۱ + x_۲ = -\frac{b}{a}}$$ *** ### ب) ارتباط بین حاصل ضرب ریشه‌ها ($P$) و ضرایب حالا به ستون **ضرب ریشه‌ها ($P$)** و ستون **$\frac{c}{a}$** نگاه کنید: * **مشاهده:** در هر چهار سطر، مقدار **ضرب ریشه‌ها ($P$)** دقیقاً برابر با مقدار کسر **$\frac{c}{a}$** است. * **نتیجه‌گیری:** حاصل ضرب ریشه‌های یک معادله درجه دوم ($ax^۲ + bx + c = ۰$) همواره برابر است با **ضریب ثابت ($c$) تقسیم بر ضریب $x^۲$ ($a$)**. $$\mathbf{\text{ضرب ریشه‌ها} \quad (P) = x_۱ x_۲ = \frac{c}{a}}$$ **اهمیت این روابط**: این روابط به ما اجازه می‌دهند تا بدون نیاز به حل کامل معادله و پیدا کردن ریشه‌ها، در مورد جمع و ضرب ریشه‌های آن قضاوت کنیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۸ حسابان یازدهم این تمرین به شما کمک می‌کند تا این روابط مهم را **اثبات** کنید و درک عمیق‌تری از آنها به دست آورید. می‌دانیم که ریشه‌های معادله درجه دوم $ax^۲ + bx + c = ۰$ با استفاده از فرمول کلی ریشه‌ها (دلتا) به دست می‌آیند: $$x_{۱,۲} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{۲a} \quad \text{که در آن} \quad \Delta = b^۲ - ۴ac$$ ### ۱. اثبات رابطه جمع ریشه‌ها ($S$) **جمع ریشه‌ها ($S$)** عبارت است از $x_۱ + x_۲$: $$S = x_۱ + x_۲ = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{۲a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{۲a}$$ از آنجا که مخرج هر دو کسر **مشترک** است ($۲a$): $$S = \frac{(-b + \sqrt{\Delta}) + (-b - \sqrt{\Delta})}{۲a}$$ **ساده‌سازی صورت کسر:** عبارت‌های $\sqrt{\Delta}$ و $-\sqrt{\Delta}$ یکدیگر را خنثی می‌کنند: $$S = \frac{-b - b}{۲a} = \frac{-۲b}{۲a}$$ **نتیجه نهایی:** عدد ۲ در صورت و مخرج ساده می‌شود: $$\mathbf{S = -\frac{b}{a}}$$ ### ۲. اثبات رابطه ضرب ریشه‌ها ($P$) **ضرب ریشه‌ها ($P$)** عبارت است از $x_۱ x_۲$: $$P = x_۱ x_۲ = (\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{۲a})(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{۲a})$$ **ضرب کسرها:** صورت در صورت و مخرج در مخرج ضرب می‌شود. * **مخرج:** $(۲a) \times (۲a) = ۴a^۲$ * **صورت:** از **اتحاد مزدوج** استفاده می‌کنیم: $(A+B)(A-B) = A^۲ - B^۲$. در اینجا $A = -b$ و $B = \sqrt{\Delta}$. $$\text{صورت} = (-b)^۲ - (\sqrt{\Delta})^۲ = b^۲ - \Delta$$ با جایگذاری $\Delta = b^۲ - ۴ac$ در صورت: $$\text{صورت} = b^۲ - (b^۲ - ۴ac)$$ $$\text{صورت} = b^۲ - b^۲ + ۴ac$$ $$\text{صورت} = ۴ac$$ **قرار دادن در کسر:** $$P = \frac{۴ac}{۴a^۲}$$ **نتیجه نهایی:** عدد ۴ و یک توان از $a$ در صورت و مخرج ساده می‌شود: $$\mathbf{P = \frac{c}{a}}$$ **نتیجه‌گیری مهم:** این اثبات نشان می‌دهد که روابط $S = -\frac{b}{a}$ و $P = \frac{c}{a}$ **همیشه** برای ریشه‌های حقیقی یک معادله درجه دوم، برقرار هستند. این روابط، سنگ بنای مبحث **روابط بین ریشه‌ها و ضرایب** در معادلات درجه دوم هستند.